%!TEX program = xelatex
\documentclass[t,12pt,aspectratio=169]{beamer} % 16:9 宽屏比例，适合现代投影， t = top alignment（顶部对齐）
\usepackage{ctex} % 中文支持
\usepackage{amsmath, amsthm, amssymb, bm} % 数学公式与符号
\usepackage{graphicx}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{booktabs} % 用于高质量表格
\usepackage{tikz} % 可选：用于绘图
\usetikzlibrary{shapes,arrows,graphs}
\usepackage{pythonhighlight}
\usepackage{color}
\usepackage{dsfont} % 数学符号加粗

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%使表格美观
\usepackage{array}
\newcolumntype{M}[1]{>{\centering\arraybackslash}m{#1}}
%\newcolumntype{N}{@{}m{0pt}@{}}
\setlength\extrarowheight{3pt}
\renewcommand{\tablename}{表}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% 插入代码相关宏包 使代码美观
\usepackage{listings}
\usepackage{xcolor}

% 设置代码样式
\definecolor{codegreen}{rgb}{0,0.6,0}
\definecolor{codegray}{rgb}{0.5,0.5,0.5}
\definecolor{codepurple}{rgb}{0.58,0,0.82}
\definecolor{backcolour}{rgb}{0.95,0.95,0.92}

\lstdefinestyle{mystyle}{
    backgroundcolor=\color{backcolour},     % 背景色
    commentstyle=\color{codegreen},         % 注释颜色
    keywordstyle=\color{blue},              % 关键字颜色
    numberstyle=\tiny\color{codegray},      % 行号颜色
    stringstyle=\color{codepurple},         % 字符串颜色
    basicstyle=\footnotesize\ttfamily,      % 基本字体
    breakatwhitespace=false,                % 自动断行
    xleftmargin=2em, % 控制代码块整体右移：值越大，右移越多
    breaklines=true,
    captionpos=b,                           % 标题位置
    keepspaces=true,                        % 保留空格
    numbers=left,                           % 显示行号
    numbersep=10pt,                         % 行号与代码间距
    showspaces=false,                       % 不显示空格标记
    showstringspaces=false,                 % 字符串空格标记
    showtabs=false,                         % 不显示 tab 标记
    tabsize=4,                              % tab 宽度
    literate={\ }{{\ }}1,                   % 保留空格（可选）
    literate={\#}{{\#}}1                    % 正确显示 #
}

\lstset{style=mystyle} % 应用样式

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% 主题设置（推荐简洁风格）
\usetheme{Madrid}
\usecolortheme{default} % 可选：default, seahorse, beaver, dolphin 等

% 自定义定理样式
\setbeamertemplate{theorems}[numbered]
\newtheorem{mydefinition}{定义}
\newtheorem{mytheorem}{定理}
\newtheorem{mylemma}{引理}
\newtheorem{mycorollary}{推论}
\newtheorem{myexample}{例}

% 信息设置
\title[数值计算与模拟]{《金融数学》第5章：数值计算与模拟}
%\author{ZFW}
%\author[]{LQW}
%\institute[XX大学]{XX大学\quad 数学与统计学院\quad 数学与应用数学专业}
%\date{2025年6月}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

% 封面页
\begin{frame}
  \titlepage
\end{frame}

% 目录页
%\begin{frame}{目录}
%  \tableofcontents
%\end{frame}

%\maketitle

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{目录}

\begin{itemize}
\item[5.1.] 蒙特卡洛方法的原理和应用
\begin{itemize}
\item[5.1.1.] 蒙特卡洛方法的基本原理
\item[5.1.2.] 蒙特卡洛方法的误差分析
\item[5.1.3.] 蒙特卡洛方法的应用：计算积分、计算期权价格
\item[5.1.4.] 方差减小方法
\item[5.1.5.] 最小二乘蒙特卡洛方法
\end{itemize}

\item[5.2.] 有限差分方法
\begin{itemize}
\item[5.2.1.] 有限差分方法的原理
\item[5.2.2.] 显式差分格式
\item[5.2.3.] 隐式差分格式
\item[5.2.4.] { Crank-Nicolson} 差分格式
\end{itemize}

\end{itemize}

\end{frame}

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{5.1.1. 蒙特卡洛方法计算一个积分 }

\begin{itemize}
\item  命题：设随机变量 $X$ 服均匀分布 $U[0,1]$, 设函数 $f:[0,1]\to\mathbb{R}$, 则有
\[ A=\int_0^1 f(x)dx = \mathbb{E}[f(X)]. \]

\item  证明：将 $Y=f(X)$ 看作是随机变量 $X$ 的函数。例如，求 $Y=X^2$ 的期望。

\vspace{0.5cm}

\item  {\color{red} 定义：随机抽取 $N$ 个在 $[0,1]$ 上均匀分布的随机数 $X_1,\cdots, X_N$, 则
\[ \hat{A}_N = \frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^N f(X_i) \]
可以近似估计 $A$ 的值，称为 $A$ 的蒙特卡洛估计。}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{5.1.1. 蒙特卡洛方法计算 { Riemann-Stieltjes} 积分 }

\begin{itemize}

\item  问题：设随机变量 $X$ 的分布函数为 $F(x)$, 如何计算下述积分？
\[ A=\int_0^1 f(x)dF(x) = \mathbb{E}[f(X)]. \]

\item  解答：

\begin{enumerate}
\item[1.] 依据分布函数 $F(x)$ 产生 $X$ 的随机数 $X_1,\cdots,X_N$.
\item[2.] 计算函数值 $f(X_1),\cdots,f(X_N)$. 
\item[3.] 求这些函数值的平均值 $\hat{A}_N$ 作为积分 $A$ 的估计值： $$\hat{A}_N=\frac{1}{N}\left[ f(X_1)+\cdots+f(X_N) \right]. $$
\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{5.1.1. 蒙特卡洛方法的基本原理 }

\begin{itemize}
\item 基本思路：寻找统计量 $\hat{A}_N$, 使其数学期望等于所求问题的值 $A$. 
\item 收敛性：（定理5.1.1） 

在上一页计算 { RS} 积分的例子中，$\hat{A}_N$ 依概率收敛于 $A$, 即
\[ \forall \varepsilon>0, \,\,\, \lim\limits_{N\to\infty} P\left( \Big{|} \hat{A}_N-A \Big{|} <\varepsilon \right) =1. \]

\item 证明：应用大数定律。

\end{itemize}

\end{frame}

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{5.1.2. 切比雪夫大数定律 }

\begin{itemize}
\item 定律：设 $\{X_n\}$ 为两两不相关的随机变量序列，设每个 $X_i$ 的方差存在，且有共同的上界，则 $\{X_n\}$ 服从大数定律，即
\[ \forall \varepsilon>0, \,\,\, \lim\limits_{N\to\infty} P\left( \Big{|} \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n X_i - \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n \mathbb{E}(X_i) \Big{|} <\varepsilon \right) =1. \]

\item 证明：应用切比雪夫不等式。
\end{itemize}

\end{frame}

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{5.1.2. 蒙特卡洛方法的误差分析 }

\begin{itemize}
\item 定理5.1.2. 设 $X_1,\cdots, X_n$ 是相互独立的随机变量，且都服从区间 $[0,1]$ 上的均匀分布。设 $f(x)$ 是定义在区间 $[0,1]$ 上的实值函数。设 $f(X_i)$ 满足 $\mathbb{E}[f(X_i)]=A$, $\mathrm{Var}[f(X_i)]=\sigma_A^2$.  则对任意 $u>0$ 有 \[ \lim\limits_{N\to\infty} P\left( \frac{|\hat{A}_N-A|}{\sigma_A/\sqrt{N}}<u \right) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-u}^u e^{-\frac{x^2}{2}}dx. \]

\item 证明：应用中心极限定理。

\item 注：当 $N$ 很大时，以概率 $\Phi(u)-\Phi(-u)$ 有误差的如下估计：
\[ |\hat{A}_N-A| <\frac{\sigma_A u}{\sqrt{N}}. \] 
这个误差由标准差 $\sigma_A$ 和样本点个数 $N$ 决定。
\end{itemize}

\end{frame}

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{5.1.2. 林德伯格-勒维中心极限定理 }

\begin{itemize}
\item 定理：设 $\{X_n\}$ 是独立同分布的随机变量序列，设每个 $X_i$ 的均值为 $\mu$, 方差为 $\sigma^2$, 记 %设 $\mathbb{E}(X_i)=\mu$, $Var(X_i)=\sigma^2$, 记 
\[ Y_n^* = \frac{X_1+\cdots+X_n-n\mu}{\sigma \sqrt{n}}, \]
则 $Y_n^*$ 按分布收敛于标准正态分布，即对任意实数 $y$, 有 
\[ \lim\limits_{n\to\infty} P(Y_n^*\le y) = \Phi(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^y e^{-t^2/2}dt. \]
\item 证明： $Y_n^*$ 的特征函数收敛到标准正态分布的特征函数。

\end{itemize}

\end{frame}

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{5.1.3. 蒙特卡洛方法的应用 }

\begin{enumerate}
\item  计算重积分。
\item  计算期权定价。
\item  其它应用。

\end{enumerate}

\end{frame}

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{5.1.3. 蒙特卡洛方法计算二重积分 }

\begin{itemize}

\item  例子5.1. 使用蒙特卡洛方法计算二重积分 $$\int_0^1\int_0^{\sqrt{1-y^2}}(x^2+y^2)dxdy. $$

\item  解答：算法步骤如下：
\begin{enumerate}
\item  生成 $N$ 对 $[0,1]$ 区间上均匀分布的随机数 $(x_i,y_i)$. %, 也即单位正方形上均匀分布的 $N$ 个点。
\item  对 $i=1,\cdots, N$, 计算 $r_i=x_i^2+y_i^2$. 
\item  将 $r_i\le 1$ 的 $r_i$ 累加起来。%，并计数这样的 $r_i$ 一共多少个。
\item  将上述和式除以 $N$, 即得二重积分的估计值。
\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[fragile=singleslide]{5.1.3. 计算二重积分的一个 { R} 程序 }

\begin{lstlisting}[language=R]
N<-10000
x<-runif(N,0,1)
y<-runif(N,0,1)
r<-x^2+y^2
simulated_int<-sum(r*(r<=1))/N 
exact_int<-pi/8
\end{lstlisting}

\end{frame}

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{5.1.3.  蒙特卡洛方法计算期权价格 }

\begin{itemize}

\item  例子5.2. 设股票价格服从下述几何布朗运动，
\[ dS(t)=rS(t)dt+\sigma S(t)dW(t).\] 
设 $T=1$, $r=0.04$, $\sigma=0.3$. 设敲定价格 $X=5$, 当前股价 $S_0=6$. 使用蒙特卡洛方法计算欧式看涨期权的数值解。

\item  解答：算法步骤如下：
\begin{enumerate}
\item[1.] 模拟 $N$ 条样本路径，得出 $N$ 个到期日股票价格 $S_k(T),1\le k\le N$. 
\item[2.] 根据公式 $V_k=e^{-rT}[S_k(T)-X]^+$ 计算期权的当前价格。
\item[3.] 计算期权的所有模拟值的平均值 \( \hat{V}_N = \frac{1}{N}\sum\limits_{k=1}^N V_k.\)
%\item[(4)]  
\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[fragile=singleslide]{5.1.3. 计算期权价格的一个 { R} 程序 }

\begin{lstlisting}[language=R]
N <- 10000 #模拟次数
T <- 1
r <- 0.04 
sigma <- 0.3 
X <-5
S <- 6
Z <- rnorm(N)
S_T <- S*exp((r-0.5*sigma^2)*T+sigma*sqrt(T)*Z)
V_M <- exp(-r*T)*(S_T-X)*(S_T>X)
V_mc <- mean(V_M)
\end{lstlisting}

\end{frame}

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{5.1.4.  方差减小技术  }

\begin{itemize}

\item[1.]  控制变量方法
\item[2.]  对偶变量方法
\item[3.]  重要抽样方法

\end{itemize}

\end{frame}

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{5.1.4.1. 控制变量方法 }

\begin{itemize}

\item  问题：设有随机变量 $Y$, 要用蒙特卡洛方法计算均值 $\mathbb{E}(Y)$. 

\item  思路：设 $X$ 是另一个随机变量，已知均值 $\mathbb{E}(X)=\mu$. 模拟生成二维随机变量 $(X,Y)$ 的简单随机样本 $(X_1,Y_1), \cdots, (X_N,Y_N)$. 取一个固定的常数 $\alpha$. 

\item  定义5.1.1. 设 $Y_i(\alpha)=Y_i-\alpha(X_i-\mu)$,  通过计算样本均值得
\begin{eqnarray*}
\overline{Y}(\alpha) = \overline{Y} - \alpha(\overline{X}-\mu) = \frac{1}{N}\sum\limits_{i=1}^N (Y_i - \alpha(X_i-\mu)),
\end{eqnarray*}
称 $\overline{Y}(\alpha)$ 为控制变量估计式，称误差 $\overline{X}-\mu$ 为估计 $\mathbb{E}(Y)$ 过程中的控制部分。

\end{itemize}

\end{frame}

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{5.1.4.1.  }

\begin{itemize}

\item  引理5.1.1. 上述控制变量估计式是无偏的。

\item  证明：因为 $\mathbb{E}(X)=\mu$, 所以 $\mathbb{E}[\overline{Y}(\alpha)] = \mathbb{E}(Y)$. 


\end{itemize}

\end{frame}

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{5.1.4.1.  }

\begin{itemize}

\item  定理5.1.3. 在控制变量估计量的表达式中，如果 
$$\alpha^* = \frac{\sigma_Y}{\sigma_X}\rho_{XY} = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\text{Var}(X)}, $$ 
则控制变量估计量 $\overline{Y}(\alpha)$ 的方差取得最小值。

\end{itemize}

\end{frame}

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{5.1.4.1.  }

\begin{itemize}

\item  证明：
\begin{eqnarray*}
Var[Y_i(\alpha)] &=& Var[Y_i-\alpha(X_i-\mu)]  \\ 
&=& Var(Y_i-\alpha X_i) \\ 
&=& Var(Y_i) -2\alpha Cov(Y_i, X_i) + \alpha^2 Var( X_i). 
\end{eqnarray*}
对 $\alpha$ 求导，并令导数为零，可得
\begin{eqnarray*}
-2 Cov(Y_i, X_i) + 2\alpha Var( X_i) = 0. 
\end{eqnarray*}
求解即得 
\begin{eqnarray*}
 \alpha = \frac{Cov(Y_i, X_i)}{Var( X_i)}. 
\end{eqnarray*}


\end{itemize}

\end{frame}

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{5.1.4.1.  }

\begin{itemize}

\item  例子5.3. 假设股票价格 $S(t)$ 服从几何布朗运动 $$dS(t) = rS(t)dt + \sigma S(t)dW(t), \,\, 0\le t\le T, $$
如果到期日 $T=1$, 无风险利率 $r=0.04$, 波动率 $\sigma=0.3$, 敲定价格 $X=5$, 当前股价 $S_0=8$, 使用控制变量方法计算欧式看涨期权的价格。

\item  解答：使用股票价格 $S(T)$ 作为控制变量，可得蒙特卡洛估计表达式为 
\begin{eqnarray*}
\overline{Y}(\alpha) = \frac{1}{N} \sum\limits_{k=1}^{N} \left[ e^{-rT}(S_k(T)-X)^+ - \alpha (S_k(T)-e^{rT}S(0)) \right] .
\end{eqnarray*}


\end{itemize}

\end{frame}

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[fragile=singleslide]{5.1.4.1. 公式解与模拟解 }

\begin{lstlisting}[language=R]
T=1; r=0.04; sigma=0.3; X=5; S=8

d1=(log(S/X)+(r+0.5*sigma^2)*T)/(sigma*sqrt(T))
d2=d1-sigma*sqrt(T)
V_exact=S*pnorm(d1)-exp(-r*T)*X*pnorm(d2)

N=1000
Z=rnorm(N)
S_T=S*exp((r-0.5*sigma^2)*T+sigma*sqrt(T)*Z)
V_M=exp(-r*T)*(S_T-X)*(S_T>X)
V_mc=mean(V_M)
\end{lstlisting}

\end{frame}

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[fragile=singleslide]{5.1.4.1. 控制变量方法模拟解 }

\begin{lstlisting}[language=R]
rand_M=rnorm(N)
S_T_con=S*exp((r-0.5*sigma^2)*T+sigma*sqrt(T)*rand_M)
option_M_con=exp(-r*T)*(S_T_con-X)*(S_T_con>X)  
control_v_M=S_T_con-exp(r*T)*S
cro_cov=cov(option_M_con,S_T_con)
alpha=cro_cov/var(S_T_con)
V_mc_con_M=option_M_con-alpha*control_v_M
V_mc_con=mean(V_mc_con_M)
\end{lstlisting}

\end{frame}

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{5.1.4.2. 对偶变量方法 }

\begin{itemize}

\item  基本原理：模拟两组具有负相关的路径。

\item  定理5.1.4. 设 $U$ 服从区间 $(0,1)$ 上的均匀分布。设 $U_1,\cdots, U_{2N}$ 是一组随机数。 则 $1-U_1,\cdots, 1-U_{2N}$ 是服从同样分布的另一组随机数。记 $Y_i=f(U_i)$, $\tilde{Y}_i=f(1-U_i)$, 则有
$$\text{Var}\left[ \frac{1}{2N}\sum\limits_{i=1}^{N} (Y_i+\tilde{Y}_i) \right] 
<\text{Var}\left[ \frac{1}{2N}\sum\limits_{i=1}^{2N} Y_i \right].
$$

\item  注：这个不等式是说，对偶变量估计值的方差小于传统估计的方差。

\end{itemize}

\end{frame}

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{5.1.4.2.  }

\begin{itemize}

\item  例子5.4. 假设股票价格 $S(t)$ 服从几何布朗运动 $$dS(t) = rS(t)dt + \sigma S(t)dW(t), \,\, 0\le t\le T, $$
如果到期日 $T=1$, 无风险利率 $r=0.04$, 波动率 $\sigma=0.3$, 敲定价格 $X=5$, 当前股价 $S_0=8$, 使用对偶方法计算欧式看涨期权的价格。

\item  解答：


\end{itemize}

\end{frame}

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{5.1.4.3. 重要抽样方法 }

\begin{itemize}

\item  重要抽样方法的主要思想是通过适当的测度变换，改变样本的产生过程，将一种概率测度下的期望值，转换成另一种概率测度下的期望值，使得样本更符合所求问题的要求，进而减小模拟方差。 

\item  问题：设 $d$ 维随机向量 $X$ 的概率密度函数为 $f(x)$, 设 $h:\mathbb{R}^d\to\mathbb{R}$ 是一个多元函数。求随机变量 $h(X)$ 的数学期望 $$A=\mathbb{E}[h(X)]=\int_{\mathbb{R}^d} h(x)f(x)dx.$$

\item  解答：寻找函数 $g(x)$ 使得当 $f(x)>0$ 时都有 $g(x)>0$, 而且
$$\mathbb{E}_f\left[ h(X)^2\frac{f(X)}{g(X)} \right] < \mathbb{E}_f\left[ h(X)^2\right]. $$


\end{itemize}

\end{frame}

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{5.1.4.3. 证明 }

\begin{itemize}

\item  首先我们将问题化为关于另一个测度的数学期望，
\begin{eqnarray*}
A = \int_{\mathbb{R}^d} h(x)f(x)dx = \int_{\mathbb{R}^d} h(x)\frac{f(x)}{g(x)}g(x)dx 
= \mathbb{E}_g\left[ h(X)\frac{f(X)}{g(X)} \right].
\end{eqnarray*}

\item  然后计算在 $g$ 测度下，$h(X)\frac{f(X)}{g(X)}$ 的方差，与在 $f$ 测度下， $h(X)$ 的方差。
\begin{eqnarray*}
\text{Var}_f [h(X)] &=& \mathbb{E}_f\left[ h(X)^2\right] - A^2. \\ 
\text{Var}_g \left[ h(X)\frac{f(X)}{g(X)} \right] &=& \mathbb{E}_f\left[ h(X)^2\frac{f(X)}{g(X)} \right] - A^2. 
\end{eqnarray*}

\end{itemize}

\end{frame}

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{5.1.5. 最小二乘蒙特卡洛方法 }

\begin{itemize}

\item  适用于使用蒙特卡洛方法计算美式期权定价问题。

\item  基本思想：将线性回归的思想和蒙特卡洛方法结合，选取一些适当的基函数的线性组合，近似期权的持有价值，把持有价值看作下一时刻的期权价格作回归拟合，用最小二乘法求出基函数的最优系数，再比较期权的继续持有价值和执行价值，取二者较大的为该时间点上的期权价值。


\end{itemize}

\end{frame}

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{5.1.5.  }

\begin{itemize}

\item  定义5.1.2. 设 $(\Omega, \{\mathcal{F}_t\}, P)$ 是一个带域流的概率空间，如果随机变量 $\tau$ 只取正数值，同时对于正数 $t>0$, 有 $$\{\omega: \tau(\omega)\le t\} \in \mathcal{F}_t, $$ 则称 $\tau$ 是一个停时。

\item  定义5.1.3. 设 $\{S(t),t\ge 0\}$ 是一个适应过程，设 $\tau$ 是一个停时。如果 
$$\mathbb{E}(S_{\tau^*}) = \max\limits_{\tau\in [0,T]} \mathbb{E}(S_\tau), $$
那么称停时 $\tau^*$ 是最优的。

\end{itemize}

\end{frame}

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{5.1.5.1. { CV-LSM} 方法的基本原理  }

\begin{itemize}

\item  名称：控制变量方法+最小二乘回归+蒙特卡洛方法


\end{itemize}

\end{frame}

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{5.1.5.2. 数值算例 }

\begin{itemize}

\item  例子：假设股票价格 $S(t)$ 服从几何布朗运动，设到期日 $T=1$, 无风险利率 $r=0.06$, 波动率 $\sigma=0.4$, 当前股价 $S_0=10$, 分别使用 { LSM} 方法和 { CV-LSM} 方法计算美式看跌期权的价格。

\item  


\end{itemize}

\end{frame}

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{5.2. 有限差分方法 }

\begin{itemize}

\item  已知金融衍生产品定价的偏微分方程，求数值解的一些方法：
\begin{itemize}
\item  有限差分法
\item  有限元方法
\item  谱方法
\end{itemize}

\end{itemize}

\end{frame}

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{5.2.1. 有限差分方法的原理 }

\begin{itemize}

\item  设 $y=f(x)$ 充分光滑，用差商代替导数的几种形式：
\begin{eqnarray*}
\text{前差商}:\,\,\, f{\,}'(x) &=& \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x},  \\
\text{后差商}:\,\,\, f{\,}'(x) &=& \frac{f(x)-f(x-\Delta x)}{\Delta x}, \\
\text{中心差商}:\,\,\, f{\,}'(x) &=& \frac{f(x+\Delta x)-f(x-\Delta x)}{2\Delta x}, \\
\text{二阶中心差商}:\,\,\, f{\,}''(x) &=& \frac{f(x+\Delta x) - 2f(x) + f(x-\Delta x)}{(\Delta x)^2}.
\end{eqnarray*}

\item  在格点上前后左右取不同的代替方式就得到不同的差分格式。

\end{itemize}

\end{frame}

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{5.2.2. 显式差分格式  }

\begin{itemize}

\item  问题：使用显式差分格式求解欧式看涨期权 { Black-Scholes} 方程
\begin{eqnarray*}
\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{\sigma^2 }{2}S^2\frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS \frac{\partial V}{\partial S} -rV=0, 
\hspace{0.5cm}V\mid_{t=T} = (S_T-X)^+. 
\end{eqnarray*}


\end{itemize}

\end{frame}

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{5.2.2. 显式差分格式  }

\begin{itemize}

\item  设自变量代换 $x=\ln S$, 上述方程化为
\begin{eqnarray*}
\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{\sigma^2 }{2}\frac{\partial^2 V}{\partial x^2} + \left( r-\frac{\sigma^2}{2} \right) \frac{\partial V}{\partial x} -rV=0, \hspace{0.5cm}V\mid_{t=T} = (e^x-X)^+. 
\end{eqnarray*}

\item  求解区域：$-\infty < x<\infty, 0\le t\le T$. 
\item  离散网格：
\begin{eqnarray*}
x_m &=& m\Delta x, \,\,\,\, m\in\mathbb{Z}, \\
t_n &=& n\Delta t, \,\,\,\, n\in \left\{0,1,2,\cdots, N=\frac{T}{\Delta t} \right\}. 
\end{eqnarray*}

\item  记 $V(x_m,t_n) = V_m^n$, 这是待求的数值解。

\item  已知边界条件：$V_m^N = (e^{m\Delta x}-X)^+$. 这是 $t=T$ 时的状况。

\end{itemize}

\end{frame}

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{5.2.2. 显式差分格式  }

\begin{itemize}

\item  用差分代替微分，得到
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
\frac{V_{m}^{n+1} - V_{m}^{n}}{\Delta t} + \frac{\sigma^2}{2} \frac{V_{m+1}^{n+1} - 2V_{m}^{n+1} + V_{m-1}^{n+1}}{(\Delta x)^2} + \left( r-\frac{\sigma^2}{2} \right) \frac{V_{m+1}^{n+1} - V_{m-1}^{n+1}}{2\Delta x} - rV_m^n =0. 
\end{eqnarray*}
}

\item  化简得到下述递推公式，
\begin{eqnarray*}
V_m^n = aV_{m-1}^{n+1} + bV_{m}^{n+1}+cV_{m+1}^{n+1},
\end{eqnarray*}
其中 $a,b,c$ 是三个常数。

\item  注：递推公式关于时间是倒向的。 

\end{itemize}

\end{frame}

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{5.2.2. 显式差分格式  }

\begin{itemize}

\item  定理5.2.1. 当下述条件成立时，显式差分格式是稳定的，
$$\alpha = \frac{\sigma^2 \Delta t}{(\Delta x)^2} \le 1, \,\,\text{以及}\,\,
1- \frac{1}{\sigma^2} \left\lvert r-\frac{\sigma^2}{2} \right\rvert \Delta x\ge 0. $$

%\item  证明：


\end{itemize}

\end{frame}

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{5.2.2. 显式差分格式示意图  }

%\begin{itemize}
%
%\item  
%
%\item  
%
%
%\end{itemize}

\end{frame}

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{5.2.3. 隐式差分格式 }

\begin{itemize}

\item  缺点：隐式差分格式中包括了未知时间层上两个或两个以上格点处的未知值，需要额外求解方程得到。

\item  优点：隐式差分格式的稳定性对步长的要求较低。


\end{itemize}

\end{frame}

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{5.2.3. 隐式差分格式 }

\begin{itemize}

\item  问题：使用隐式差分格式求解欧式看跌期权 { Black-Scholes} 方程
\begin{eqnarray*}
\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{\sigma^2 }{2}S^2\frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS \frac{\partial V}{\partial S} -rV=0, 
\hspace{0.5cm}V\mid_{t=T} = (X - S_T)^+. 
\end{eqnarray*}

\item  解答（1、网格分割）：
\begin{itemize}
\item  时间：$\Delta t = \frac{T}{N}$. 
\item  股票价格：$\Delta S = \frac{S_{max}}{M}$. 其中 $S_{max}$ 是足够高的股票价格。
\item  设格点 $(i,j)$ 对应时刻 $j\Delta t$ 和股票价格 $i\Delta S$. 
\item  记 $V_i^j$ 表示格点 $(i,j)$ 对应的期权价格。
\end{itemize}

\end{itemize}

\end{frame}

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{5.2.3. 隐式差分格式 }

\begin{itemize}

\item  解答（2、差分格式）：
{\small
\begin{eqnarray*}
\frac{V_{i}^{j+1} - V_{i}^{j}}{\Delta t} + rS \frac{V_{i+1}^{j} - V_{i-1}^{j}}{2\Delta S} 
+ \frac{\sigma^2}{2}S^2 \frac{V_{i+1}^{j} - 2V_{i}^{j} + V_{i-1}^{j}}{(\Delta S)^2} = rV_{i}^{j}.
\end{eqnarray*}
}

\item  解答（3、递推公式）：
\begin{eqnarray*}
a_i V_{i-1}^{j} +b_i V_{i}^{j} +c_i V_{i+1}^{j} = V_{i}^{j+1}, 
\end{eqnarray*}
其中 $a_i,b_i,c_i$ 与股票价格分割指标 $i$ 有关。 

\item  解答（4、边界条件）：在 $t=T$ 时，期权的价格关于 $S$ 的函数是已知的，
\begin{eqnarray*}
V_i^N = (X-i\Delta S, 0)^+ = \max(X-i\Delta S, 0).
\end{eqnarray*}

\end{itemize}

\end{frame}

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{5.2.3. 隐式差分格式示意图  }

%\begin{itemize}
%
%\item  
%
%\item  
%
%
%\end{itemize}

\end{frame}

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{5.2.3. 隐式差分格式例子  }

\begin{itemize}

\item  设到期日 $T=1$, 无风险利率 $r=0.3$, 波动率 $\sigma=0.4$, 敲定价格 $X=8$, 股价最高 $S_max=10$, 使用有限差分隐式格式方法计算欧式看涨和看跌期权的价格。

%\item  


\end{itemize}

\end{frame}

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{5.2.4. { Crank-Nicolson} 差分格式  }

\begin{itemize}

\item  问题与符号跟刚才的隐式差分格式一样，不同之处是偏导数选择不同的差分格式，设 $0\le \theta\le 1$, 
\begin{eqnarray*}
\frac{\partial V}{\partial t} &\approx&  \frac{V_{i}^{j+1} - V_{i}^{j}}{\Delta t}, \\ 
\frac{\partial V}{\partial S} &\approx&  (1-\theta)\frac{V_{i+1}^{j} - V_{i-1}^{j}}{2\Delta S} 
+ \theta \frac{V_{i+1}^{j+1} - V_{i-1}^{j+1}}{2\Delta S}, \\ 
\frac{\partial^2 V}{\partial S^2} &\approx&  (1-\theta)\frac{V_{i+1}^{j} - 2V_{i}^{j} + V_{i-1}^{j}}{(\Delta S)^2} 
+ \theta \frac{V_{i+1}^{j+1} - 2V_{i}^{j+1} + V_{i-1}^{j+1}}{(\Delta S)^2} 
\end{eqnarray*}


\end{itemize}

\end{frame}

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{5.2.4. { Crank-Nicolson} 差分格式  }

\begin{itemize}

\item  由此，将 { BS} 方程中的各项微分用差分格式代替，可以写出 { BS} 方程的 { Crank-Nicolson} 差分格式，
\begin{eqnarray*}
&& \frac{V_{i}^{j+1} - V_{i}^{j}}{\Delta t} 
+ ri\Delta S  \left[ (1-\theta)\frac{V_{i+1}^{j} - V_{i-1}^{j}}{2\Delta S} + \theta \frac{V_{i+1}^{j+1} - V_{i-1}^{j+1}}{2\Delta S} \right] \\ 
&+& \frac{\sigma^2 }{2} i^2 (\Delta S)^2  
\left[ (1-\theta)\frac{V_{i+1}^{j} - 2V_{i}^{j} + V_{i-1}^{j}}{(\Delta S)^2} 
    + \theta \frac{V_{i+1}^{j+1} - 2V_{i}^{j+1} + V_{i-1}^{j+1}}{(\Delta S)^2} \right] \\ 
&=&  
r\left[ (1-\theta)V_{i}^{j} + \theta V_{i}^{j+1} \right]. 
\end{eqnarray*}


\end{itemize}

\end{frame}

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{5.2.4. { Crank-Nicolson} 差分格式 }

\begin{itemize}

\item  化简可得 { Crank-Nicolson} 差分格式的递推公式
\begin{eqnarray*}
a_i V_{i-1}^{j} +b_i V_{i}^{j} +c_i V_{i+1}^{j} = d_i V_{i-1}^{j+1} +e_i V_{i}^{j+1} +f_i V_{i+1}^{j+1}.
\end{eqnarray*}

\item  注：当 $\theta=0$ 时，这是隐式格式，当 $\theta=1$ 时，这是显式格式。
\item  注：每个方程都包含三个已知层的格点和三个未知层的格点。
\item  优点：稳定而且精度高。

\end{itemize}

\end{frame}

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{5.2.4. { Crank-Nicolson} 差分格式示意图  }

%\begin{itemize}
%
%\item  
%
%\item  
%
%
%\end{itemize}

\end{frame}

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{习题5 }

\begin{enumerate}

\item[5.1.]  利用蒙特卡洛方法近似计算下列问题，
$$\int_0^\infty e^{-x}dx, \,\,\,\,\, \int_0^1\int_{x^2}^x (x^2+y^2)dxdy. $$

\item[5.2.]  设股票价格服从下述几何均值回复过程，
\[ dS(t) = a(b-S(t))S(t)dt +\sigma S(t)dW(t),\]
其中 $a=0.5$, $b=60$, 设 $T=2$, $r=0.04$, $\sigma=0.3$, $X=50$, $S_0=70$, 利用对偶蒙特卡洛方法计算该股票的欧式看涨期权的价格。

\end{enumerate}

\end{frame}

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{习题5 }

\begin{enumerate}

\item[5.3.]  写出 { Vasicek} 利率模型下债券 $P(r,t,T)$ 定价偏微分方程
$$\frac{\partial P}{\partial t} + a(b-r)\frac{\partial P}{\partial r} +\frac{\sigma^2}{2} \frac{\partial^2 P}{\partial t^2} -rP=0$$
的 { Crank-Nicolsen} 差分格式，其中 $r(t)$ 为短期利率，$a,b,\sigma$ 为常数。

\end{enumerate}

\end{frame}


 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}{1.20. }
\begin{frame}{参考文献}

\begin{thebibliography}{99}
\bibitem{zfw} 张寄洲，傅毅，王杨，金融数学，科学出版社，2015年4月第1版。

\end{thebibliography}

\end{frame}


 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\end{document}
